Propiedades

 En estos espacios se verifican las siguientes propiedades,las que no ocurren en el caos de los de dimensión infinita.

• Son equivalentes las diversas normas definidas en un espacio lineal.

• El espacio normado es completo], es decir, es un espacio de Banach]. Como consecuencia, todo subespacio de dimensión finita de un espacio vectorial (no necesariamente de dimensión finita) es cerrado.
• Un espacio vectorial normado es de dimensión finita si y sólo si la bola unidad es compacta.
• Todo funcional lineal es continuo. Si el espacio tiene dimensión infinita, existen funcionales lineales no continuos.

Otras Propiedades:

Sea C (c) un punto de un espacio normado H y r real positivo, diremos bola abierta de centro C, radio r, al conjunto de todos los puntos de H que cumplen ||x-c|| < r. Si ||x-c|| ≤ r, se dice bola cerrada de centro c y radio r.

• Todo espacio normado es un espacio vectorial topológico.
• la adherencia de una bola abierta en un espacio normado es una bola cerrada
• El interior de una bola cerrada en un espacio normado es bola abierta
• Cualquiera bola abierta en un espacio normado es homeomorfa a todo el espacio.