Vamos a describir, salvo isomorfismos, todos los espacios normados de dimensión finita,
pues veremos de hecho que, para cada N ∈ N, todos los espacios normados de dimensión N
son isomorfos. Para ello, empezamos con una sencilla observación.
Lema.
Para N ∈ N, todo operador lineal, de KN con la topología usual, en cualquier otro
espacio normado, es continuo.
Teorema de Hausdorff. Toda biyección lineal entre dos espacios normados de dimensión
finita es un isomorfismo.
El teorema de Hausdorff tiene varios corolarios destacables, algunos de los cuales equivalen
al propio teorema.
En primer lugar, el lema previo tiene ahora una versión más general:
- Todo operador lineal, de un espacio normado de dimensión finita, en un espacio normado
arbitrario, es continuo.
Cabe preguntarse lo que ocurre cuando es el espacio de llegada de nuestro operador lineal
el que tiene dimensión finita. La respuesta es el siguiente resultado que generaliza lo que ya
sabíamos para funcionales lineales.
- Sean X e Y espacios normados y supongamos que Y tiene dimensión finita. Entonces,
un operador lineal T : X → Y es continuo si, y sólo si, su núcleo es cerrado.
Puesto que la completud se conserva por isomorfismos, del teorema de Hausdorff se deduce
obviamente que todo espacio normado de dimensión finita es completo. Hemos obtenido así un corolario al teorema de Hausdorff que, por la razón recién
explicada, es el que se usa con más frecuencia:
- En cualquier espacio normado, todos los subespacios de dimensión finita son cerrados.
. Recordemos que,
si M es un subespacio de un espacio vectorial X , la codimensión de M en X es la dimensión
del cociente X/M , que coincide con la de cualquier complemento algebraico de M en X.
- Si M es un subespacio cerrado que tiene codimensión finita en un espacio normado X,
entonces M está complementado en X. De hecho, todo complemento algebraico de M
en X es un complemento topológico.
